Aproximación de Pi

Se me ha ocurrido una forma de aproximarse a Pi bastante buena, y muy sencilla de entender.

Empecemos con un círculo, simplificado a 4 lados (l). De infinitos lados hemos pasado a 4, no está mal:

Si tomásemos ese cuadrado como un círculo, su longitud sería 4l. Supongamos que r vale 1 (además, así se simplifican los cálculos), por lo que l valdrá (Teorema de Pitágoras) . Si la fórmula de la longitud es 2(Pi)r, tendríamos que 4=2(Pi), por lo que Pi valdría 2.828...

Ahora, tomemos un polígono de mayor número de lados (es más sencillo con los que tengan 2ⁿ lados). En este caso, 8.

En este caso tenemos un triángulo isósceles cuyos lados iguales son r (1), y el desigual l. Para poder sacar el valor de l tenemos que partirlo por la mitad, de modo que tengamos dos triángulos rectángulos de lados r, a y b.
De este triángulo conocemos la hipotenusa (1), el ángulo recto y el que coincide con el centro de la circunferencia. Como la circunferencia mide 360º (simplificada en 2ⁿ lados, y nosotros tenemos la mitad del triángulo, ese ángulo será 2ⁿ⁺¹. Ahora que conocemos ese ángulo, podemos aplicar la fórmula del seno para hallar el valor de b. En este caso,

sin (360/16)=0.3827...

Como r=1, b=0.3827... Y como l=2b, l=0.7654... Por tanto, la longitud de esta circunferencia será 8l=6.1229..., y Pi tendrá un valor de 3.0615.

De todo esto se saca la siguiente fórmula:

Cuanto mayor sea el valor de n, más dígitos de Pi saldrán. Con n=21 salen 9 decimales. No es gran cosa, pero menos da una piedra.